1817 m. pavasarį ant dešiniojo Sasnos kranto, rytinėje dabartinių senųjų kapinių dalyje Sasnavos ir aplinkinių kaimų gyventojai pastatė gražią aštuonkampę koplyčią, turėjusią barokinio stiliaus bruožų. Koplyčia buvo pastatyta toje vietoje, kur šiuo metu stovi Knygnešio paminklas. Šalia koplyčios buvo pastatyta troba bei ūkiniai pastatai.Tų pačių metų rugsėjo 14 d., Vygrių vyskupijos kurijai leidus, koplyčia buvo pašventinta Švenčiausios Mergelės Marijos Vardo garbei. 1866 m. pab. šioje koplytėlėje buvo pakrikštytas būsimasis Lietuvos prezidentas Kazys Grinius. Koplyčią prižiūrėjo vienuoliai marijonai, gyvenantys Marijampolėje. Jie į Sasnavą atvažiuodavo tik šventinėmis dienomis, nuolat kunigui gyventi Sasnavoje neleido caro valdininkai.

Pirmasis Sasnavos koplyčią aptarnavo (klebonavo) kunigas Dapkevičius. Apie 1845 metus „klebonavo“ Kristupas Švirmickas. Po jo koplyčią aptarnavo ir sasnaviečiams patarnavo kunigai Kazys Vitkauskas, Jurgis Čėsna, Narutavičius, Gegužinskas ir Grinevičius. Apie 1870 metus Sasnavos žmonių dvasios vadovu buvo kunigas vienuolis Vincas Senkus. Po jo, iki 1890 metų, „klebonavo“ kunigas Pėstininkas. Vėliau – kunigas Motiejus Gilius.

Daugėjo gyventojų ir į koplyčią jau visi nebetilpdavo, todėl koplyčią per keletą kartų praplėtė ir ji tapo erdvesne . Tačiau to Sasnavos ir aplinkinių kaimų gyventojams nepakako, nes visi santuokos, krikšto ir mirties liudijimai (dokumentai) nebuvo surašomi Sasnavoje, kadangi Sasnava neturėjo parapijos statuso. Keletą kartų buvo bandoma rinkti gyventojų parašus ir carinės valdžios prašyti suteikti Sasnavos bažnyčiai parapijos teises.

Šis leidimas buvo gautas 1904 metais ir prelatas Juozas Antanavičius 1904 m. rugsėjo 12 d. aktu Sasnavos parapiją paskelbė Marijampolės filija. Sasnavos parapijai buvo priskirta dalis Marijampolės, Pilviškių, Igliaukos parapijų kaimų.

Pirmasis Sasnavos parapijos klebonas buvo kun. Stanislovas Čėsna.

1905-1906 m. pastatyta Sasnavos klebonija. 1910 m. rugpjūčio 1 d. įvyko visuotinis parapijiečių susirinkimas, kuriame buvo nutarta Sasnavoje statyti naują mūrinę bažnyčią. 1911 m. pradėta projektuoti bažnyčia, tačiau statybą sutrukdė Pirmasis pasaulinis karas. Per karą dingo S. Byševskio parengtas mūrinės bažnyčios projektas, buvo prarasta didžioji dalis mūrinei bažnyčiai sukauptų statybinių medžiagų.

1926 m. patvirtintas naujas inžinieriaus E. Fryko parengtas projektas.

1928 m. statyba atnaujinta. 1928 m. birželio 4 d. vyskupas Mečislovas Reinys pašventino būsimos bažnyčios pamatų kertinį akmenį. Darbams vadovavo vietinis mūrininkas Jonas Malinka.

1938 m. statybos darbai buvo baigti ir bažnyčia pašventinta. Didelė, su aukštu bokštu, gotikinio stiliaus bažnyčia stovi gyvenvietės viduryje, lygioje vietoje, prie gatvės, iškilusi virš kitų pastatų. Gotikos stiliaus savitumas – į viršų kylantys smaili kampai. Bažnyčios fasadai puošnūs, juose panaudota daug įvairių stilizuotų neogotikinių formų, savitai interpretuotų jų derinių.

2005 m. Sasnavos Švč. M. Marijos Vardo bažnyčios statinių ansamblis įrašytas į Lietuvos Respublikos Nekilnojamųjų kultūros vertybių registrą.

2000 – 2012 metais atliktas bažnyčios išorės bei vidaus remontas.